PSU: Matemática

Pregunta 34_2010

Dada la parábola de ecuación y = x ² − 2x + a , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)   Si a  >  1 , entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

II)    Si a  =  1 , entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje x.

III)    Si a  <  1 , entonces la parábola no intersecta al eje x.

Alternativas

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

Comentario

Para resolver el ítem, el alumno debe realizar un análisis de cada una de las afirmaciones dadas en I), en II) y en III), para ello debe recordar la gráfica de una parábola , su concavidad y su intersección con los ejes coordenados .

Antes de analizar las afirmaciones, se determinarán la concavidad y el vértice de la parábola. Es así como se debe recordar que la parábola de ecuación y = px ² + bx + c tiene concavidad hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0 , en este caso de la ecuación de la parábola dada y = x ² − 2x + a , se tiene que p = 1 > 0 , luego, la parábola tiene concavidad hacia arriba.

Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábola está dado por las coordenadas ,

reemplazando por p = 1 y b = −2 , se tiene y

Luego, el vértice de la parábola es (1,  −1 + a) .

Ahora, si se analiza I) se tiene que a > 1 , entonces (−1 + a) > 0 , por lo tanto el vértice de la parábola está sobre el eje x, y como la concavidad es hacia arriba no intersecta a este eje. Por lo tanto, I) es falsa.

Su gráfica es:

En II), como se tiene que a = 1 , reemplazando en el vértice de la parábola se obtiene (1,  0) , luego esta intersecta en un solo punto al eje x, por lo que II) es verdadera.

Su gráfica es:

Al analizar III), se tiene que a  < 1 , por lo que la ordenada (−1 + a) será siempre un valor negativo. Como se tiene que la parábola se abre hacia arriba y el vértice está abajo del eje x, entonces la parábola lo intersecta en dos puntos. Por lo que III) es falsa.

Su gráfica es:

De lo anterior se deduce que la clave es B) .

Este ítem resultó muy difícil, contestado sólo por el 14,3 por ciento del total, con una alta omisión del 67 por ciento. Esto demuestra la inseguridad de los alumnos, ya que se requiere de un buen análisis.

En el caso erróneo de afirmar que I) es verdadero los alumnos posiblemente creyeron que basta con que a > 1 para que la parábola intersecte en dos puntos al eje x, sin realizar un análisis sobre la posición del vértice.

Nota del Profesor en Línea:

La ecuación que aquí se anota y = px ² + bx + c corresponde a f(x) = ax ² + bx + c que utilizamos al tratar la función cuadrática , cuya gráfica siempre es una parábola. Por lo tanto, la letra p que aquí se utiliza para obtener las coordenadas del vértice de la parábola corresponde a la letra a de la fórmula general.

En lo que se refiere al vértice, debió ser del siguiente modo:

“Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábola está dado por las coordenadas ,

reemplazando por a = 1 y b = −2 , se tiene y . Luego, el vértice de la parábola es (1,  −1 + c) .”

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl